Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические/показательные/логарифмические: смешанного типа» №2

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

( ) 36sin x − cosx = 6sinx

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] 7π- − 2 ;− 2π$ .

а) Так как $(ax)y = axy$ , то данное уравнение равносильно:

36− sinxcosx = 6sinx ⇔ 6− 2sinxcosx = 6sinx

Таким образом, уравнение приняло вид $6x = 6y$ , что равносильно $x = y$ . Таким образом:

⌊ sin x = 0 ⌈ − 2sin xcos x = sin x ⇔ sinx (2cosx + 1) = 0 ⇔ 1- cosx = − 2

Первое уравнение совокупности имеет решения $x = πn, n ∈ ℤ$ .
Второе: $x = ± 2π-+ 2πk,k ∈ ℤ 3$ .

б) Отберем корни. 1) $7π − --- ≤ πn ≤ − 2 π ⇒ n = − 3;− 2 ⇒ x = − 3π; − 2 π 2$ 2) $7π 2π 25 4 10 π − --- ≤ ---+ 2πk ≤ − 2π ⇔ − ---≤ k ≤ − -- ⇒ k = − 2 ⇒ x = − ---- 2 3 12 3 3$ 3) $7π 2π 17 2 8π − --- ≤ − ---+ 2 πk ≤ − 2π ⇔ − ---≤ k ≤ − -- ⇒ k = − 1 ⇒ x = − --- 2 3 12 3 3$