Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические/показательные/логарифмические: смешанного типа» №19

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

2 log-2(sinx-) +-log2(sin-x) 2cos x − √3-- = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] π-;2π . 2$

а) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю:

( { log2(sinx) + log (sin x) = 0 2 √ -- 2 ( 2 cosx − 3 ⁄= 0

Неравенство $√3-- cos x ⁄= ---- 2$ назовем ОДЗ.
Рассмотрим уравнение системы: $2 log 2(sinx ) + log2(sinx) = 0$ .
Сделаем замену $log2 (sin x) = t$ . Тогда уравнение примет вид

[ 2 t = 0 t + t = 0 ⇔ t(t + 1) = 0 ⇔ t = − 1

Следовательно,

⌊ π x1 = --+ 2πn ⌊ 0 | 2 [ sin x = 2 = 1 || π log2(sin x) = 0 ⇔ ⌈ ⇔ || x2 = --+ 2πm log2(sin x) = − 1 sin x = 2− 1 = 1- | 6 2 |⌈ x = 5-π + 2πk 3 6

$n, m, k ∈ ℤ$ .
Вернемся к ОДЗ. По ОДЗ $π- x ⁄= 6 + 2πl$ и $π- x ⁄= − 6 + 2πp$ , $l,p ∈ ℤ$ .
Таким образом мы видим, что серия корней $x2$ не подходит под ОДЗ, значит, не будет входить в ответ.
Ответом будут являться серии $x1$ и $x3$ .

б) Отберем корни. 1) $π- π- 3- π- 2 ≤ 2 + 2 πn ≤ 2π ⇔ 0 ≤ n ≤ 4 ⇒ n = 0 ⇒ x = 2$ 2) $π- 5π- 1- -7- 5π- 2 ≤ 6 + 2πk ≤ 2π ⇔ − 6 ≤ k ≤ 12 ⇒ k = 0 ⇒ x = 6$