Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические/показательные/логарифмические: смешанного типа» №18

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение $(√- ) √ - ( ) 3sinx⋅log2 2 ⋅cosx = 3⋅log4 2cos2x .$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] 0; 3π . 2$

а) ОДЗ данного уравнения: cosx >0. » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-2312-1.svg» width=»auto»> Решим на ОДЗ. </p>
<p class= По формуле

log (2cos2x)= log ||√2-⋅cosx||, 4 2| |

но так как по ОДЗ cosx> 0, » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-2312-3.svg» width=»auto»> то </p>
<div class= $( 2 ) (√- ) log42 cos x = log2 2⋅cosx$

Следовательно, уравнение принимает вид:

( ) ( ) 3sinx ⋅log2 √2 ⋅cosx − √3 ⋅log2 √2-⋅cosx = 0 (√- ) ( √ -) log2 2 ⋅cosx ⋅3sinx − 3 = 0

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла. Следовательно есть два случая:

1.: $2.$; $√ - 3sinx − 3= 0 sinx 12 3 = 3 sinx = 1 ⌊ 2 x = π-+2πk, k ∈ ℤ |⌈ 65π x = -6 +2πk, k ∈ℤ$
Но заметим, что корень $x = 5π+ 2πk 6$ не подходит по ОДЗ, так как эти углы находятся во второй четверти, а там $cosx< 0.$

Следовательно, решением уравнения являются

⌊ π |x = ±4-+ 2πk, k ∈ ℤ ⌈ π x = 6 + 2πk, k ∈ℤ

б) Отберем корни с помощью неравенств.

Рассмотрим серию решений $x= π-+ 2πk, k ∈ ℤ : 4$
$0≤ π-+ 2πk ≤ 3π 4 2 − π-≤ 2πk ≤ 5π 4 4 − 1 ≤k ≤ 5 8 8 k =0 π x= 4-$
Рассмотрим серию решений $π x= − 4-+2πk, k ∈ℤ :$
$0 ≤− π-+2πk ≤ 3π 4 2 π≤ 2πk ≤ 7π 4 4 1 ≤ k ≤ 7 8 8 k ∈ ∅ x∈ ∅$
Рассмотрим серию решений $π x= -6 + 2πk, k ∈ ℤ :$
$π 3π 0≤ 6-+ 2πk ≤-2 − π-≤ 2πk ≤ 4π 6 3 − 1-≤ k ≤ 2 12 3 k =0 π x= 6-$