Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические/показательные/логарифмические: смешанного типа» №17

Просмотров 6 Комментарии 0

а) Решите уравнение

21− sinx = 3− sinx ⋅ 7cosx

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] − 3π-;0 . 2$

а) Так как $(ab)x = ax ⋅ bx$ , то уравнение можно переписать в виде:

( ) 3− sinx ⋅ 7− sin x − 3 − sinx ⋅ 7cosx = 0 ⇔ 3− sin x ⋅ 7− sinx − 7cosx = 0

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла. $3− sinx > 0 » class=»math» width=»auto»> по свойству показательной функции, следовательно, уравнение равносильно: <center class=$

7− sinx = 7cosx ⇔ − sin x = cos x

Данное уравнение является однородным первой степени и решается делением обеих частей равенства на $sin x$ или $cos x$ . Разделим на $cosx$ :

π tgx = − 1 ⇔ x = − --+ πn, n ∈ ℤ 4

б) Отберем корни.

$3π π 5 1 5π π − ---≤ − --+ πn ≤ 0 ⇔ − --≤ n ≤ -- ⇒ n = − 1;0 ⇒ x = − --; − -- 2 4 4 4 4 4$