Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические/показательные/логарифмические: смешанного типа» №16

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

16sinx + 16sin(x+π) = 17- 4

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] 3π-;3π . 2$

а) Так как по формуле приведения $sin(π + x ) = − sin x$ , то заменой $16sinx = t$ уравнение сводится к виду:

1- 17- 4t2 −-17t +-4 t + t = 4 ⇔ 4t = 0

Так как $t > 0 » class=»math» width=»auto»> как показательная функция, то <img decoding=$ , откуда $t = 4 1$ и $t = 1- 2 4$ . Делаем обратную замену:

1) $16sinx = 4 ⇔ 42sinx = 4 ⇔ 2sinx = 1 ⇔ sin x = 1- 2$ .
Корнями такого уравнения будут $π- x = 6 + 2πn$ и $5π- x = 6 + 2πm$ , $m, n ∈ ℤ$ .

2) $1 16sinx = 4−1 ⇔ 2 sin x = − 1 ⇔ sinx = − -- 2$ .
Корнями такого уравнения будут $x = − π-+ 2πk 6$ и $x = − 5π-+ 2πl 6$ , $k,l ∈ ℤ$ .

б) Отберем корни. 1) $3π 5π 1 13 17 π ---≤ ---+ 2πm ≤ 3π ⇔ --≤ m ≤ --- ⇒ m = 1 ⇒ x = ---- 2 6 3 12 6$ 2) $3 π π 2 17 13π --- ≤ -- + 2πn ≤ 3π ⇔ --≤ n ≤ --- ⇒ n = 1 ⇒ x = ---- 2 6 3 12 6$ 3) $3π 5π 7 23 --- ≤ − ---+ 2πl ≤ 3π ⇔ --≤ l ≤ --- ⇒ l ∈ ∅ ⇒ x ∈ ∅ 2 6 6 12$ 4) $3 π π 5 19 11 π --- ≤ − --+ 2πk ≤ 3π ⇔ --≤ k ≤ --- ⇒ k = 1 ⇒ x = ---- 2 6 6 12 6$