Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические/показательные/логарифмические: смешанного типа» №15

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

8 ⋅ 16sin2x − 2 ⋅ 4cos2x = 63

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] 7π-;5π . 2$

а) Заметим, что $cos2x = 1 − 2 sin2 x$ , следовательно, $2 2 2 41−2sin x = 41 : 42sinx = 4 : 16sin x$ . Сделаем замену $16sin2 x = t$ , тогда уравнение примет вид:

1- 8t2-−-63t −-8 8t − 2 ⋅ 4 ⋅ t − 63 = 0 ⇔ t = 0

Так как $t > 0 » class=»math» width=»auto»>, то данное уравнение равносильно <center class=$

2 8t − 63t − 8 = 0

$2 2 D = 63 + 4 ⋅ 8 ⋅ 8 = 3969 + 256 = 4225 = 65$ . Следовательно, $1- t1 = − 8$ и $t2 = 8$ . Сделаем обратную замену, учитывая, что корень $t1$ нам не подходит, так как он отрицателен:

√-- sin2x 4⋅sin2x 3 2 -3-- 16 = 8 ⇔ 2 = 2 ⇔ 4 sin x = 3 ⇔ sinx = ± 2

Решениями данных двух уравнений будут: $x = ± π- + 2πm 3$ и $x = ± 2π-+ 2πn 3$ , $m, n ∈ ℤ$ .

б) Отберем корни. 1) $7π π 19 7 13 π ---≤ --+ 2 πm ≤ 5π ⇔ ---≤ m ≤ -- ⇒ m = 2 ⇒ x = ---- 2 3 12 3 3$ 2) $7 π π 23 8 11 π --- ≤ − --+ 2πm ≤ 5π ⇔ ---≤ m ≤ -- ⇒ m = 2 ⇒ x = ---- 2 3 12 3 3$ 3) $7π 2π 17 13 14π --- ≤ --- + 2πn ≤ 5π ⇔ ---≤ n ≤ --- ⇒ n = 2 ⇒ x = ---- 2 3 12 6 3$ 4) $7 π 2π 25 17 --- ≤ − ---+ 2πn ≤ 5π ⇔ ---≤ n ≤ --- ⇒ n ∈ ∅ ⇒ x =∈ ∅ 2 3 12 6$