Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические/показательные/логарифмические: смешанного типа» №13

Просмотров 6 Комментарии 0

а) Решите уравнение $log22(sinx)+-log2(sinx) 2 cosx +√3- = 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 3π 0;2 .$

а) ОДЗ уравнения: $sinx> 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1162-1.svg» width=»auto»> и <img decoding=$ .
Решим уравнение на ОДЗ:

⌊ log (sinx)⋅(log (sinx)+ 1) [log2(sin x)= 0 | sinx = 1 --2---2cosx+2√3-------= 0 ⇒ log(sin x)= −1 ⇒ ⌈ 1 2 sinx = 2

Видим, что оба уравнения подходят под условие sinx> 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1162-4.svg» width=»auto»> из ОДЗ.<br class= Таким образом, нам нужно отобрать корни, которые подходят под условие $√ - cosx ⁄= −--3 2$ . Сделаем это по окружности:

$PIC$

Таким образом, видим, что отбрасывается только одна серия корней: $5π 6 + 2πk$ . Итоговый ответ:

x= π-+ 2πn; π-+ 2πm; n,m ∈ ℤ 2 6

б) Отберем корни. $0 ≤ π-+2πn ≤ 3π ⇔ − 1 ≤n ≤ 1 ⇒ n = 0 ⇒ x= π- 2 2 4 2 2$ $π- 3π -1 2 π- 0 ≤ 6 + 2πm ≤ 2 ⇔ −12 ≤ m ≤ 3 ⇒ m = 0 ⇒ x = 6$