Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические/показательные/логарифмические: смешанного типа» №12

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение $(10 cos2x− 7cosx− 6)⋅log8(− sinx)= 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 2π; 7π . 2$

а) Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла:

( [ ( [ |{ 10cos2 x− 7cosx− 6= 0 |{ 10cos2x − 7cosx − 6= 0 log8(− sinx)= 0 ⇔ sin x= −1 |( − sinx > 0 |( sinx < 0

Назовем $sinx< 0$ – ОДЗ.

1) Рассмотрим первое уравнение. Заменой $cosx= t$ , $− 1 ≤ t≤ 1$ , данное уравнение сводится к квадратному $10t2− 7t− 6= 0$ . Корнями будут $t =− 12$ и $t = 65$ . Видим, что второй корень не подходит. Таким образом:

cosx= − 1 ⇔ x= ± 2π+ 2πn,n ∈ℤ 2 3

Заметим, что углы $2π x= 3 + 2πn$ , $n∈ ℤ$ находятся во второй четверти, где $sinx> 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1161-11.svg» width=»auto»>, следовательно, не подходят по ОДЗ. Углы <img decoding=$ , $n ∈ℤ$ находятся в третьей четверти, где $sinx < 0$ , следовательно, подходят по ОДЗ. Итог:

2π x = −-3 + 2πn,n∈ ℤ

2) Рассмотрим второе уравнение: $sinx = −1$ (подходит по ОДЗ). Решением будут

x= − π-+2πk,k ∈ℤ 2

б) Отберем корни. $2π 7π 4 25 10π 2π ≤ − 3 + 2πn≤ 2 ⇔ 3 ≤n ≤ 12 ⇒ n = 2 ⇒ x= 3$ $2π ≤ − π+ 2πk ≤ 7π ⇔ 5 ≤ k ≤ 2 ⇒ k =2 ⇒ x= 7π 2 2 4 2$