Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические/показательные/логарифмические: смешанного типа» №11

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

4 ⋅ 16sin2x − 6 ⋅ 4cos2x = 29

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 3π-;3π 2$ .

а) Так как $cos 2x = 1 − 2 sin2 x$ , то уравнение можно записать в виде

4 ⋅ 16sin2x − 6 ⋅ 4 ⋅ 16− sin2x = 29

Сделаем замену $sin2x 16 = t$ , $t > 0 » class=»math» width=»auto»>: <center class=$

24 4t − ---= 29 t

Умножим обе части равенства на $t$ , так как $t ⁄= 0$ :

4t2 − 29t − 24 = 0

Дискриминант $2 D = 35$ , следовательно, корни $t = 8$ и $3 t = − 4$ . Так как $t > 0 » class=»math» width=»auto»>, то второй корень не подходит. Значит, <center class=$

√ -- 16sin2x = 8 ⇔ 24sin2 x = 23 ⇔ sin2 x = 3- ⇔ sin x = ± --3- 4 2

Решениями полученного уравнения будут $π 2π π 2π x = --+ 2πn; ---+ 2πn; − --+ 2πn; − ---+ 2πn, n ∈ ℤ 3 3 3 3$ .
Все данные серии корней можно объединить в одну серию $π x = ± --+ πn, n ∈ ℤ 3$ .

б) Отберем корни. $3π-≤ π-+ πn ≤ 3π ⇔ 7-≤ n ≤ 8- ⇒ n = 2 ⇒ x = 7π- 2 3 6 3 3$ $3 π π 11 10 5π 8π --- ≤ − --+ πn ≤ 3π ⇔ ---≤ n ≤ --- ⇒ n = 2;3 ⇒ x = --; --- 2 3 6 3 3 3$