Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические/показательные/логарифмические: смешанного типа» №10

Просмотров 6 Комментарии 0

а) Решите уравнение

2 log23(2cosx ) − 5 log3(2cosx ) + 2 = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 5π- π; 2$ .

а) ОДЗ уравнения: $cosx > 0 » class=»math» width=»auto»>.<br class=$ С помощью замены $log3(2 cosx) = t$ уравнения сведется к виду

2t2 − 5t + 2 = 0

По теореме Виета корнями будут $t = 2$ и $t = 1- 2$ . Следовательно,

⌊ ⌊ 9- log3(2 cosx) = 2 | cosx = 2 |⌈ ⇔ || ⇔ x = ± π-+ 2πn, n ∈ ℤ 1- ⌈ √3-- 6 log3(2 cosx) = 2 cosx = ---- 2

(заметим, что уравнение $√- cosx = -3- 2$ удовлетворяет ОДЗ)

б) Отберем корни. $π ≤ π-+ 2πn ≤ 5π- ⇔ -5-≤ n ≤ 7- ⇒ n = 1 ⇒ x = 13π- 6 2 12 6 6$ $π ≤ − π-+ 2πn ≤ 5π- ⇔ -7-≤ n ≤ 4- ⇒ n = 1 ⇒ x = 11π- 6 2 12 3 6$