Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические/показательные/логарифмические: смешанного типа» №1

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

log7(2cos2 x + 3cos x − 1) = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] 7π- − 2 ;− 2π$ .

а) Заметим, что данное уравнение имеет линейный вид $log7 f(x) = 0$ , что в свою очередь равносильно:

{ f(x) = 70 ⇔ f(x) = 1 f(x) > 0 » class=»math-display» width=»auto»></center> Таким образом, <center class=

Данное уравнение является квадратным относительно $t = cosx$ :

2t2 + 3t − 2 = 0 ⇒ t1 = − 2, t2 = 1- 2

Так как $|cosx| ≤ 1$ , то корень $t1$ не подходит, следовательно,

1- π- cosx = 2 ⇔ x = ± 3 + 2πn, n ∈ ℤ

б) Отберем корни. 1) $− 7π-≤ π-+ 2πn ≤ − 2π ⇔ − 23-≤ n ≤ − 7- ⇒ n = ∅ ⇒ x ∈ ∅ 2 3 12 6$ 2) $7π π 19 5 7π − ---≤ − --+ 2πn ≤ − 2π ⇔ − ---≤ n ≤ − -- ⇒ n = − 1 ⇒ x = − --- 2 3 12 6 3$