Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: на формулы сокращенного умножения» №9

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

sin6 x + cos6x = 0,25

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $(0;1)$ .

а) ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ.

По формуле сокращенного умножения $a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)$ имеем: $sin6 x + cos6x = (sin2x)3 + (cos2x)3 = (sin2x + cos2x )(sin4x − sin2 xcos2x + cos4 x) =$
$4 2 2 4 = 1 ⋅ (sin x − sin x cos x + cos x )$ .

Добавим и вычтем в скобках $2 sin2 xcos2 x$ и получим:
$sin4 x + 2sin2x cos2x + cos4x − 3sin2x cos2x = (sin2x + cos2 x)2 − 3 sin2 x cos2x =$
$= 1 − 3 sin2 xcos2 x$ .

Таким образом, уравнение преобразуется к виду:

1 − 3sin2x cos2x = 0,25 = ⇒ sin2 xcos2 x = 1- 4

По формуле двойного угла для синуса $1 1 sinα cos α = --sin2α = ⇒ (sin αcos α)2 = --sin22α ⇒ 2 4$ уравнение равносильно:

1 1 π π π --sin2 2x = --= ⇒ sin2 2x = 1 =⇒ sin2x = ±1 =⇒ 2x = --+ πn, n ∈ ℤ = ⇒ x = --+ -n, n ∈ ℤ 4 4 2 4 2

б) Отберем корни:

π- π- 1- -2 1- 0 < 4 + 2n < 1 ⇒ − 2 < n < π − 2

Т.к. $3 < π < 4 ⇒ 1-< 2-< 2- ⇒ 0 < 2-− 1-< 1- 2 π 3 π 2 6$ , следовательно, целые $n$ , удовлетворяющие неравенству, это $n = 0$ . Тогда $π x = -- 4$ .