Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: на формулы сокращенного умножения» №8

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

sin3x + cos3x = 0

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $[ π ] − --;π . 2$

а) По формуле суммы кубов $a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)$ , а также учитывая, что $sin2x + cos2 x = 1$ , имеем:

[ sin x + cosx = 0 (sin x + cosx )(sin2x − sinx cos x + cos2x) = 0 ⇔ 1 − sin xcos x = 0

Так как $sin x ⋅ cosx = 0,5sin2x$ , то

[ sin x = − cos x | : cos x [tgx = − 1 ⇔ 0, 5sin2x = 1 sin 2x = 2

Второе уравнение не имеет решений, так как $|sin α| ≤ 1$ при любом $α$ . Первое уравнение имеет решения:

π x = − --+ πn,n ∈ ℤ 4

б) Отберем корни:

π- π- 1- 5- π- 3π- − 2 ≤ − 4 + πn ≤ π ⇔ − 5 ≤ n ≤ 4 ⇒ n = 0;1 ⇒ x = − 4; 4