Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: на формулы сокращенного умножения» №7

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

tg2x − 2 sin x + cos2x = 0

б) Укажите все его корни, принадлежащие промежутку $[2π;3π ]$ .

а) Т.к. $sinx tgx = ----- cos x$ , то уравнение можно переписать в виде:

$( sin x)2 sin2x − 2sinx cos2x + cos4x ----- − 2sinx + cos2 x = 0 ⇒ ---------------2------------- = 0 ⇒ cosx cos x$

$( 2 )2 2 ⇒ sinx-−--cos-x = 0 ⇒ sinx-−-cos--x = 0 ⇒ cos x cos x$

${ 2 { 2 sinx − cos x = 0 sin x − 1 + sin x = 0 ⇒ cos x ⁄= 0 ⇒ cos x ⁄= 0$

Первое уравнение с помощью замены $sin x = t$ сводится к квадратному, корнями которого являются

√ -- √ -- t = −-1 −---5 и t = −-1 +---5 1 2 2 2

Корень $t1$ не подходит, т.к. область значений синуса от $− 1$ до $1$ , а $√ - −1−2--5< − 1$ . Делаем обратную замену:

⌊ √5--− 1 √5--− 1 | x = arcsin------- + 2 πn,n ∈ ℤ sin x = ------- ⇒ | 2 √ -- 2 ⌈ --5 −-1 x = π − arcsin 2 + 2πm, m ∈ ℤ

Заметим, что для этих корней выполнено $cosx ⁄= 0$ (т.к. если $cosx = 0$ , то $sin x$ равен $± 1$ ).

б) Отберем корни.

Обозначим $√ -- --5-−-1 arcsin 2 = α$ . Тогда

α 3 α 2π ≤ α + 2 πn ≤ 3π ⇒ 1 − ---≤ n ≤ --− --- 2π 2 2π

Заметим, что т.к. $π- π- 6 < α < 2$ (т.к. $1 √5−1- 2 < 2 < 1$ ), то

$1--< α--< 1- 12 2π 4$ . Следовательно, $1 − -α- = 0,... 2 π$ , $3− α--= 1,... 2 2π$

Следовательно, среди целых чисел нам подходит только $n = 1$ , при котором получаем корень $√- x = α + 2π = arcsin -52−1-+ 2π$ .

1 α α 2π ≤ π − α + 2πm ≤ 3π ⇒ 2-+ 2-π ≤ m ≤ 1 + 2π-

Аналогично получаем, что $1- -α- 2 + 2 π = 0,...$ , $-α- 1 + 2π = 1,...$

Таким образом, среди целых подходит только $m = 1$ , откуда получаем корень $√- x = π − α + 2π = 3π − arcsin -5−21-$ .