Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: на формулы сокращенного умножения» №6

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

( ) √- √--1--- (sin x + cosx) (1 + sin 2x) = log 2+1 2 − 1

б) Укажите все его корни, принадлежащие промежутку $(12;14 )$ .

а) Сделаем преобразования с правой частью:

( -- ) ( -- ) ( 1 ) √ 2 + 1 √2 + 1 √-- log√2+1 √------ = log√2+1 √--------√-------- = log√2+1 ------- = log√2+1 ( 2 + 1) = 1 2 − 1 ( 2 − 1)( 2 + 1) 2 − 1

Значит, уравнение перепишется в виде:

$(sin x + cosx)(1 + sin 2x) = 1 ⇒ (sinx + cos x)(1 + 2sinx cosx ) = 1 ⇒$

$⇒ (sinx + cos x)(sin2 x + 2sin xcos x + cos2x) = 1 ⇒ (sinx + cos x)3 = 1 ⇒$

(последнее преобразование сделано по формуле сокращенного умножения)

$√ -- √ -- √ -- √ -- √ -- --2- --2- --2- ( π-) --2- ⇒ sin x + cosx = 1 | : 2 ⇒ 2 sin x + 2 cosx = 2 ⇒ sin x x + 4 = 2$

$⌊ π π ⌊ x + --= --+ 2πn, n ∈ ℤ x = 2πn, n ∈ ℤ | 4 4 ⌈ ⌈ π 3π ⇒ x = π-+ 2 πm, m ∈ ℤ x + --= ---+ 2πm, m ∈ ℤ 2 4 4$

б) Отберем корни.

1)

6 7 12 < 2πn < 14 ⇒ --< n < -- π π

Т.к. $3 < π < 3,5$ , то $12 < 6 < 2 7 π$ и $2 < 7 < 7 π 3$ , то есть, условно говоря,

$6 π = 1,...$

$7 = 2,... π$

Таким образом, среди целых чисел подходит только $n = 2$ , который дает корень $x = 4π$ .

2)

π 6 1 7 1 12 < 2-+ 2πm < 14 ⇒ π-− 4-< m < π-− 4-

Из выведенных данных предыдущего пункта можно также условно сказать, что

$6 1 --− --= 1,... π 4$

По поводу $7 − 1 π 4$ точного значения не получается (с той оценкой, которую мы сделали, получается, что это число из промежутка $(1,...;2,...)$ ), поэтому необходимо точнее оценить $π$ :

$314-< π < 315- ⇒ 700-< 7-< 700- ⇒ 100 100 315 π 314$

$71 7 1 1243 7 1 ⇒ ---< --− --< ----- ⇒ 1 3536-< --− --< 1661258 36 π 4 628 π 4$

Таким образом, условно можно сказать, что $7- 1- π − 4 = 1, ...$

Значит, можно сказать, что $1,... < m < 1,...$ , то есть это неравенство не имеет решений в целых числах.

Тригонометрические: на формулы сокращенного умножения