Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: на формулы сокращенного умножения» №5

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

sin3 x − cos3x + cos 2x = 0

б) Укажите все его корни, принадлежащие промежутку $[ π ] − -;π 2$ .

а) По формулам сокращенного умножения:

$sin3 x − cos3x = (sin x − cosx)(sin2x + sinx cosx + cos2 x) = (sin x − cosx )(1 + sinx cosx )$ ;

$2 2 cos2x = cos x − sin x = (cos x − sin x)(cosx + sinx )$ .

Значит, уравнение можно переписать в виде:

(sinx − cos x)(1 + sin xcos x) + (cosx − sinx)(cos x + sin x) = 0 ⇒ ⇒ (cos x − sin x)(− 1 − sin xcos x + cosx + sinx ) = 0 ⇒ [ ⇒ cosx − sin x = 0 − 1 − sin x cosx + cosx + sinx = 0

Решим каждое уравнение по отдельности.
1) Первое уравнение является однородным и решается делением обеих частей уравнения, например, на $cosx$ :

cos-x − sinx- = 0 ⇒ 1 − tgx = 0 ⇒ tgx = 1 ⇒ x = π-+ πn,n ∈ ℤ cos x cosx 4

2) Второе уравнение решается разложением на множители:

$− 1 − sinx cosx + cos x + sin x = 0 ⇒ sin x − 1 − (sin xcos x − cosx) = 0 ⇒$

$⇒ (sinx − 1 ) − cos x(sin x − 1) = 0 ⇒ (sin x − 1)(1 − cosx ) = 0 ⇒$

$[ ⌊ π- sin x = 1 ⌈x = 2 + 2πm, m ∈ ℤ cosx = 1 ⇒ x = 2πk,k ∈ ℤ$

б) Отберем корни по окружности:

$PIC$

Заметим, что одна точка, задающая серию корней $π 4 + π + 2πn2$ из решения первого уравнения, не входит в отрезок $[ ] − π2;π$ .

Нетрудно увидеть, что из остальных точек в этот отрезок попадает по одному углу: $0$ (при $k = 0$ ), $π 4$ (при $n1 = 0$ ) и $π 2$ (при $m = 0$ ).