Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: на формулы сокращенного умножения» №4

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение $cos4 x− sin4x= cosx.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $[0;2].$

а) По формуле разности квадратов имеем:

4 4 2 2 2 2 2 2 2 cosx − sin x= (cosx +sin x)(cos x− sin x)= cosx − sin x= 2cos x− 1

Тогда исходное уравнение примет вид

2cos2x− cosx − 1= 0

Сделав замену $t =cosx,$ получим:

2t2− t− 1= 0 ⇒ t1 = 1; t2 = − 1 2

Сделав обратную замену, получим:

⌊ cosx = 1 ⌊x = 2πn, n ∈ℤ ⌈ 1 ⇒ ⌈ 2π cosx = −2 x = ±-3 + 2πm, m ∈ℤ

б) Отберем корни с помощью неравенств.

0 ≤ 2πn≤ 2 ⇒ 0 ≤n ≤ 1- ⇒ n = 0 ⇒ x =0 π

2π 1 1 1 0≤ -3 + 2πm1 ≤ 2 ⇒ − 3 ≤ m1 ≤ π-− 3

Отсюда с учетом π > 3 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-396-8.svg» width=»auto»> имеем: </p>
<div class= $1-< 1 ⇒ 1− 1 < 0 ⇒ m ∈∅ π 3 π 3 1$

2π 1 1 1 0≤ − 3-+ 2πm2 ≤ 2 ⇒ 3 ≤ m2 ≤ π-+ 3

Отсюда с учетом π > 3 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-396-11.svg» width=»auto»> имеем: </p>
<div class= $1+ 1 < 2 ⇒ m ∈ ∅ π 3 3 2$