Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: на формулы сокращенного умножения» №3

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение $sin32x − cos32x= sin 2x − cos2x.$

б) Найдите сумму его корней, принадлежащих промежутку $[ π- ) − 4;π$ .

а) ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ.

По формуле сокращенного умножения $a3− b3 =(a− b)(a2+ ab+ b2)$ имеем: $sin32x − cos32x= (sin2x − cos2x)(sin22x + sin2xcos2x+ cos22x)=$
$= (sin 2x− cos2x)(1+ sin2xcos2x)$ .

Таким образом, уравнение примет вид:

(sin2x − cos2x)(1+ sin 2xcos2x)− (sin2x − cos2x)= 0⇒ (sin 2x− cos2x)sin 2xcos2x = 0

По формуле двойного угла для синуса $sin αcosα= 1 sin2α 2$ уравнение преобразуется к виду:

1 (sin2x − cos2x)⋅2 sin4x= 0 ⇒

[ sin2x− cos2x= 0 [tg2x= 1 ⌊x = π-+ πm,m ∈ ℤ ⇒ ⇒ ⌈ 8π 2 sin4x= 0 4x= πn,n ∈ℤ x = 4n,n ∈ℤ

б) Отберем корни:

− π-≤ π-+ πm < π ⇒ − 3 ≤ m < 7 4 8 2 4 4

Целые $m$ , удовлетворяющие данному неравенству, это $m = 0;1$ . Им соответствуют углы $π; 5π 8 8$ .

π- π- − 4 ≤ 4n < π ⇒ − 1≤ n <4

Целые $n$ , удовлетворяющие данному неравенству, это $n = −1;0;1;2;3$ . Им соответствуют углы $π- π-π- 3π − 4;0;4; 2;4$ .

Таким образом, сумма всех корней, принадлежащих промежутку:

π+ 5π − π-+0 + π+ π-+ 3π =2π 8 8 4 4 2 4