Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: на формулы сокращенного умножения» №2

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

sin4 x − cos4x + cos2x = sin x + cosx

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $( ) − 5π;0 2$ .

а) ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ.

Т.к. по формуле сокращенного умножения $a2 − b2 = (a − b)(a + b)$ выражение $sin4 x − cos4x = (sin2x − cos2 x)(sin2 x + cos2x) = (sin2 x − cos2x ) ⋅ 1$ , а по формуле косинуса двойного угла $2 2 cos2x = cos x − sin x$ , то уравнение примет вид:

sin2 x − cos2x + cos2 x − sin2 x = sin x + cosx ⇒ 0 = sin x + cosx

Полученное уравнение является однородным первой степени и решается делением обеих частей равенства на $cosx$ :

π- tgx = − 1 ⇒ x = − 4 + πn, n ∈ ℤ

б) Отберем корни:

5π- π- 9- 1- − 2 < − 4 + πn < 0 ⇒ − 4 < n < 4 ⇒ n = − 2;− 1;0

Значит, корни, принадлежащие данному промежутку — это $− 9π-;− 5π-;− π- 4 4 4$ .