Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: на формулы сокращенного умножения» №11

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение $sin4x − cos4x= 1. 2$

б) Укажите все его корни, принадлежащие промежутку $( π 11π ) −4-;-4- .$

а) Применим формулу разности квадратов $a2− b2 = (a − b)(a + b)$ для левой части:

( 2 2 )( 2 2 ) 1 sin x+ cosx sin x− cos x = 2 2 2 1 sin x − cos x= 2 1 − cos2x = 2 1 cos2x= − 2 2π 2x= ± 3-+ 2πk, k ∈ℤ π x =± 3-+ πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни с помощью неравенств.

− π-< π+ πk1 < 11π- ⇒ −-7 < k1 < 29 4 3 4 12 12

Среди целых чисел подходят $k1 = 0, 1, 2,$ при которых получаются корни $π- 4π 7π- x = 3, 3 , 3 .$

− π-< − π-+ πk2 < 11π ⇒ -1 < k2 < 37 4 3 4 12 12

Среди целых чисел подходят $k2 = 1, 2, 3,$ при которых получаются корни $x = 2π, 5π-, 8π . 3 3 3$