Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: на формулы сокращенного умножения» №10

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение

sin2 x + 4sinx cosx + 4 cos2x = 5

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $[ π] 0; -- 2$ .

а) ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ.

Данное уравнение можно решить, сведя к однородному второй степени. Но мы решим его по-другому. Заметим, что

2 2 2 sin x + 4 sin xcos x + 4cos x = (sin x + 2cos x)

Следовательно, наше уравнение равносильно

√ -- (sin x + 2cos x)2 = 5 ⇒ sinx + 2 cosx = ± 5

Преобразуем левую часть уравнения с помощью формулы вспомогательного угла:

( ) √ -- -1-- -2-- √ -- -1-- sin x + 2cos x = 5 √5--sin x + √5--cosx = 5 sin (x + ϕ), где cos ϕ = √5--

Значит, наше уравнение примет вид:

√-- √ -- 5 sin (x + ϕ) = ± 5 ⇒ sin (x + ϕ) = ±1 ⇒ x + ϕ = π-+ πn, n ∈ ℤ 2

Сделаем постановку $1 ϕ = arccos√--- 5$ и получим окончательный ответ:

π- √1-- x = 2 − arccos 5 + πn, n ∈ ℤ

б) Отберем корни. Т.к. $( ) ( ) √1--> 0 ⇒ arccos √1—∈ 0; π ⇒ π-− arccos√1—∈ 0; π 5 5 2 2 5 2 » class=»math» width=»auto»>. </p> <p class=$

Следовательно, единственный корень, попадающий в отрезок $[ ] 0; π 2$ — это $x = π-− arccos√1-- 2 5$ при $n = 0$ .