Задача к ЕГЭ на тему «Треугольник: задачи на подобие» №6

Просмотров 7 Комментарии 0

Точка $D$ лежит на стороне $BC$ треугольника $ABC,$ причём $CD- DB = 0,2.$ Точка $E$ лежит на стороне $AC,$ причём $CE- 1 CA = 6.$ Найдите $SABF-, SEFD$ если $F$ — точка пересечения $AD$ и $BE.$

$PIC$

Так как $CD- DB = 0,2,$ то $DB = 5CD.$ Значит, $CD- 1 CB = 6.$

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $EDC :$ $∠C$ — общий, $CE- = 1= CD-. CA 6 CB$

Треугольники $ABC$ и $EDC$ подобны по пропорциональности двух сторон и равенству углов между ними, следовательно,

ED 1 AB-= 6 ∠CED = ∠CAB

Из равенства соответственных углов при параллельных прямых и секущей ( $∠CED = ∠CAB$ ) следует, что $ED ∥ AB.$ Тогда $∠DEF = ∠ABF$ как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и секущей.

$∠EF D = ∠AF B$ как вертикальные, тогда треугольники $ABF$ и $DEF$ подобны по двум углам.

Так как $ED- = 1, AB 6$ то $AB-= 6, ED$ то есть коэффициент подобия треугольников $ABF$ и $DEF$ равен $6.$ Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, тогда

SABF-= 62 = 36 SEFD