Задача к ЕГЭ на тему «Треугольник: высота, биссектриса, медиана» №35

Просмотров 7 Комментарии 0

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $56∘,$ углы $B$ и $C$ — острые. Высоты $BD$ и $CE$ пересекаются в точке $O.$ Найдите угол $DOE.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

1 способ

Проведем $OA.$

$PIC$

Тогда

∠DOE = ∠DOA + ∠EOA

Так как $∘ ∠AEO = ∠ADO = 90 ,$ то из прямоугольных треугольников $AEO$ и $ADO$

∠EOA = 90∘ − ∠OAE, ∠DOA = 90∘− ∠OAD

Следовательно:

∘ ∘ ∠DOE = ∠DOA + ∠EOA = 90 − ∠OAD + 90 − ∠OAE = = 180∘ − (∠OAD + ∠OAE )= 180∘− ∠A =180∘− 56∘ = 124∘

2 способ

Вспомним, что сумма углов выпуклого четырехугольника равна $360∘.$ Тогда для четырехугольника $AEOD :$

∠A +∠E + ∠O + ∠D = 360∘

Откуда

∠DOE = ∠O = 360∘ − 90∘− 90∘− 56∘ = 124∘

Треугольник: высота, биссектриса, медиана