Задача к ЕГЭ на тему «Треугольник: высота, биссектриса, медиана» №28

Просмотров 5 Комментарии 0

В треугольнике $ABC$ биссектрисы $AQ$ и $BP$ пересекаются в точке $K,$ $∠C = 75∘.$ Найдите $∠P KQ.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Имеем $∠AKB = ∠P KQ$ как вертикальные. Тогда для образуемых биссектрисами углов имеем:

∠KAB = 1∠CAB 2 ∠ABK = 1∠ABC 2

Тогда с учетом суммы углов треугольника $ABC :$

1 1 ∘ ∘ ∘ ∠KAB + ∠ABK = 2(∠CAB + ∠ABC )= 2(180 − 75 )= 52,5

Отсюда с учетом суммы углов трегольника $AKB :$

∠AKB = 180∘ − (∠KAB + ∠ABK ) = 180∘− 52,5∘ = 127,5∘

Окончательно имеем

∠P KQ = ∠AKB = 127,5∘