Задача к ЕГЭ на тему «Треугольник: высота, биссектриса, медиана» №17

Просмотров 10 Комментарии 0

В треугольнике $ABC$ известно, что $∠C = 40∘,$ $∠B = 110∘,$ $AM$ — биссектриса, $N$ — такая точка на $AC,$ что $AB = AN.$ Найдите $∠CMN.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Сумма углов треугольника равна $180∘,$ тогда имеем:

∠BAC = 180∘− ∠B − ∠C = ∘ ∘ ∘ ∘ = 180 − 110 − 40 = 30

Так как $AM$ — биссектриса, то

∠MAN = ∠BAM = 15∘

Треугольники $ABM$ и $ANM$ равны по двум сторонам и углу между ними, тогда $∠BMA =∠AMN.$ Из треугольника $ABM$ имеем:

∘ ∠BMA = 180 − ∠BAM − ∠B = = 180∘ − 15∘− 110∘ = 55∘

Тогда получаем

∠BMN =2 ⋅∠BMA = 110∘

Значит, искомый угол равен

∘ ∘ ∘ ∠CMN =180 − 110 = 70

Треугольник: высота, биссектриса, медиана