Задача к ЕГЭ на тему «Треугольник: площадь и периметр» №22

Просмотров 5 Комментарии 0

Площадь равнобедренного треугольника $ABC$ равна 90, боковая сторона равна $10√3.$ К основанию $AB$ и стороне $BC$ проведены соответственно высоты $CP$ и $AH,$ пересекающиеся в точке $D.$ Найдите площадь треугольника $CDH.$

$PIC$

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то

√- CA = CB = 10 3

Тогда имеем:

√- SABC =0,5⋅CB ⋅AH = 90 ⇒ AH = 6 3

Из треугольника $HCA$ по теореме Пифагора:

∘ ---------- √- CH = CA2 − AH2 = 8 3

Так как $CP$ — высота равнобедренного треугольника $ABC,$ проведенная к основанию $AB,$ то она также является биссектрисой и медианой. Тогда по свойству биссектрисы из треугольника $HCA :$

√ - DH--= DA- ⇒ DH√--= (6--3−√-DH-) CH CA 8 3 10 3

Отсюда получаем

√- 8-3- DH = 3

Следовательно, так как треугольник $CDH$ прямоугольный, то искомая площадь равна

SCDH = 0,5 ⋅CH ⋅DH = 32

Треугольник: площадь и периметр