Задача к ЕГЭ на тему «Треугольник: площадь и периметр» №18

Просмотров 5 Комментарии 0

В треугольнике $ABC$ даны три стороны: $AB =26, BC =30, AC =28.$ Найдите площадь треугольника, заключенного между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины $B.$

$PIC$

Пусть $BP$ и $BQ$ — высота и биссектриса данного треугольника $ABC$ соответственно. По формуле Герона имеем:

S = ∘42-⋅(42-− 30)(42-− 28)(42-− 26)= 14⋅6⋅4 = 336 ABC

Запишем формулу площади треугольника $ABC$ через высоту:

AC ⋅BP SABC = ---2---

Отсюда получаем

BP = 2⋅SABC-= 2⋅336= 24 AC 28

$PIC$

По свойству биссектрисы треугольника имеем:

AQ-= AB- = 13 QC BC 15

Значит, $13 AQ = 28AC = 13.$

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $APB :$

∘ ---------- ∘ -------- AP = AB2 − BP 2 = 262 − 242 = 10

Найдем отрезок между основаниями высоты и биссектрисы:

P Q= AQ − AP = 13− 10= 3

Тогда искомая плошадь равна

SBPQ = 1⋅PQ ⋅BP = 3-⋅24 = 36 2 2

Треугольник: площадь и периметр