Задача к ЕГЭ на тему «Треугольник: площадь и периметр» №16

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите квадрат площади треугольника $ABC,$ если $AC = 3,$ $BC = 4,$ а медианы, проведенные из вершин $A$ и $B,$ взаимно перпендикулярны.

$PIC$

$PIC$

Т.к. $BP$ — медиана, то

SABP = SPBC ⇒ SABC = 2⋅SABP

Т.к. $AM$ и $BP$ — медианы, то точка $O$ делит их в отношении 2:1, считая от вершины. Тогда если $OM = x,$ то $AO =2x,$ если $OP =y,$ то $BO = 2y.$ Получим систему уравнений:

{ 2 2 x 2+4y2= 4 4x + y = 2,25

Из системы находим $x$ и $y :$

∘ -- x= 1 3 ∘-2,75 y = -3--

Тогда:

∘ --∘ ---- 1 2,75 SABP = 0,5 ⋅2x ⋅3y = 3⋅ 3 ⋅ 3

Найдём площадь треугольника $ABC :$

∘ -- ∘---- 1 2,75 √ -- 2 SABC = 2⋅3⋅ 3 ⋅ 3 = 11 ⇒ (SABC) = 11

Треугольник: площадь и периметр