Задача к ЕГЭ на тему «Треугольник: площадь и периметр» №13

Просмотров 5 Комментарии 0

Периметр треугольника равен 6. Найдите периметр треугольника, стороны которого параллельны сторонам данного и проходят через его вершины.

$PIC$

Пусть длины сторон треугольника $ABC :$ $AB, BC, CA$ равны $a, b, c$ соответственно, тогда периметр треугольника

ABC :P = a+ b+ c ABC

Найдем сторону $EF.$ Из условия известно, что $EF ∥AB,DE ∥AC, DF ∥BC,$ тогда можно заметить, что четырёхугольники $ABCF$ и $ABEC$ — параллелограммы, т. к. стороны этих четырёхугольников попарно параллельны. По свойству параллелограмма противоположные стороны попарно равны, а значит, что

AB = F C =CE ⇒ EF = 2⋅a

Аналогично доказывается, что $DE = 2⋅c, DF = 2 ⋅b,$ значит,

PDEF = 2⋅(a+ b+ c)= 2⋅PABC = 12