Задача к ЕГЭ на тему «Трапеция и ее свойства» №7

Просмотров 5 Комментарии 0

В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ проведены биссектрисы углов $A$ и $B,$ пересекающие основания соответственно в точках $N$ и $K.$ Найдите периметр четырехугольника $ABNK,$ если $AB =5.$

$PIC$

(Задача от подписчиков)

$PIC$

$∠AKB = ∠KBN$ как накрест лежащие при $AD ∥BC$ и $BK$ секущей. Следовательно, $∠AKB = ∠ABK,$ следовательно, $△BAK$ равнобедренный. Отсюда

AB = AK = 5

Аналогично, $∠BNA = ∠NAK = ∠NAB,$ следовательно, $△ABN$ — равнобедренный. Отсюда

AB = BN = 5

Заметим, что $AK = BN = 5$ и $AK ∥BN,$ следовательно, по признаку $ABNK$ — параллелограмм. Следовательно, $NK = AB = 5.$ Тогда периметр $ABNK$ равен

5+ 5+ 5+ 5= 20

Трапеция и ее свойства