Задача к ЕГЭ на тему «Трапеция и ее свойства» №13

Просмотров 6 Комментарии 0

В трапеции боковые стороны равны $12$ и $√- 12 5,$ угол при меньшей боковой стороне равен $135∘.$ Найдите отношение меньшего основания к большему, если площадь трапеции равна $156.$

Если задача допускает несколько вариантов ответа, внесите в бланк меньший из них.

Трапецию можно нарисовать двумя способами.

1 способ.

Рассмотрим трапецию $ABCD,$ где $AB = 12,$ $CD = 12√5,$ $∠A = 45∘,$ $∠B = 135∘.$ Проведем в ней высоты $BH$ и $CK.$

$PIC$

Заметим, что $△ABH$ — прямоугольный и равнобедренный, тогда

AB- 12- √- BH = AH = √2 = √2 = 6 2

Значит, из прямоугольного $△DCK$ можно найти $KD :$

- - -------- - KD2 = CD2 − CK2 = (12√5)2− (6√ 2)2 = 648 ⇒ KD = √9⋅9 ⋅4 ⋅2= 18√2

Пусть $BC =x,$ тогда $HK = BC =x.$

Так как площадь трапеции равна 156, то имеем следующее уравнение:

√ - √ - 6--2+-18-2+-x+-x ⋅6√2 = 156 ⇒ x =√2 2

Тогда

BC :AD = (√2):(25√2)= 1:25

2 способ.

Рассмотрим трапецию $ABCD,$ где $CD = 12,$ $√- AB = 12 5,$ $∘ ∠C = 45 ,$ $∘ ∠D = 135 .$ Проведем в ней высоты $BH$ и $CK.$

$PIC$

В этом случае, поступая аналогично первому способу, находим

√ - CK = DK = BH = 6 2 AH =18√2- √ - √- √ - AD = 18 2+ x− 6 2= 12 2+ x

Из уравнения $√- - 156 = 12-2+-x+-x-⋅6√2 2$ находим $- x =7√ 2.$

Значит,

√ - √ - BC :AD = (7 2):(19 2) =7 :19

Так как $-1< -7, 25 19$ то в ответ пойдет $-1= 0,04. 25$

Трапеция и ее свойства