Задача к ЕГЭ на тему «Теоремы Менелая и Чевы» №4

Просмотров 5 Комментарии 0

Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Пусть нам дан $△ABC$ , проведем в нем высоты $AA1, BB1, CC1$ и докажем что они пересекаются в одной точке.

$PIC$

Заметим, что:

BA1 = cos∠B ⋅ AB, A1C = cos∠C ⋅ AC, CB1 = cos∠C ⋅ BC, B1A = cos∠A ⋅ AB, AC = cos∠A ⋅ AC, C B = cos ∠B ⋅ BC. 1 1

Воспользуемся теоремой Чевы:

BA1--⋅ CB1--⋅ AC1-= cos∠B--⋅ AB- ⋅ cos-∠C--⋅ BC- ⋅ cos-∠A-⋅-AC--= A1C B1A C1B cos∠C ⋅ AC cos ∠A ⋅ AB cos∠B ⋅ BC AB--⋅ BC-⋅ CA-⋅ cos-∠A-⋅ cos∠B-⋅ cos-∠C- = AB ⋅ BC ⋅ CA ⋅ cos ∠A ⋅ cos∠B ⋅ cos ∠C = 1.

Следовательно, высоты треугольника пересекаются в одной точке.