Задача к ЕГЭ на тему «Теоремы Менелая и Чевы» №3

Просмотров 6 Комментарии 0

Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Пусть нам дан $△ABC$ , проведем в нем биссектрисы $AA1, BB1, CC1$ и докажем что они пересекаются в одной точке.

$PIC$

Воспользуемся свойством биссектрисы для всех трех биссектрис:

Для биссектрисы $AA1 : BA1--= AB-- A1C AC$

Для биссектрисы $BB : CB1-- = BC-- 1 B1A BA$

Для биссектрисы $AC1-- CA-- CC1 : C B = CB 1$

Воспользуемся теоремой Чевы:

BA1 CB1 AC1 AB BC CA AB ⋅ BC ⋅ CA -----⋅ -----⋅-----= ----⋅ ----⋅---- = -------------- = 1. A1C B1A C1B AC BA CB AB ⋅ BC ⋅ CA

Следовательно, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.