Задача к ЕГЭ на тему «Теоремы Менелая и Чевы» №2

Просмотров 6 Комментарии 0

В треугольнике $ABC$ на середине стороны $AB$ отмечена точка $M.$ Точка $P$ на продолжении стороны $AC$ за точку $C$ такова, что $AC = CP.$ Найдите меньший из отрезков, на которые прямая $MP$ делит сторону $BC,$ если $BC =3.$

Пусть $N$ — точка пересечения прямых $MP$ и $BC.$

Способ 1.

По условию имеем:

AM :MB = 1:1, CP :PA = 1:2

Тогда по теореме Менелая для треугольника $ABC$ и прямой $MP :$

AM BN CP MB--⋅NC--⋅PA-= 1 BN--= MB--⋅ P-A = 1⋅ 2 = 2 NC AM CP 1 1

Так как $BN :NC = 2:1,$ то искомый отрезок равен

1 NC = 3BC = 1

$PIC$

Способ 2.

Проведем $MK ∥ BC.$ Тогда по теореме Фалеса точка $K$ поделит $AC$ в том же отношении, что точка $M$ поделит отрезок $AB.$ Тогда $AK = KC$ и так как $AC = CP,$ то $KC = 1CP. 2$