Задача к ЕГЭ на тему «Теоремы Менелая и Чевы» №1

Просмотров 5 Комментарии 0

Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Пусть нам дан $△ABC$ , проведем в нем медианы $AA1, BB1, CC1$ и докажем что они пересекаются в одной точке.

$PIC$

Воспользуемся теоремой Чевы:

AB CA BC 1 1 1 ----1 ⋅---1-⋅----1 = --⋅--⋅ --= 1, B1C A1B C1A 1 1 1

так как $A1, B1, C1$ – середины сторон $BC, AC, AB$ соответственно.
Следовательно, медианы треугольника пересекаются в одной точке.