Задача к ЕГЭ на тему «Теорема синусов и теорема косинусов» №2

Просмотров 6 Комментарии 0

В треугольнике $ABC :$ $∠B = 30∘,$ $O$ — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам $AC$ и $BC,$ $OD$ — серединный перпендикуляр к стороне $AC.$ Найдите $√3 ⋅AC --OD---.$

$PIC$

Так как $O$ — точка пересечения серединных перпендикуляров в треугольнике $ABC,$ то $O$ — центр описанной около $ABC$ окружности, $OC = R.$

Обозначим $AC =a,$ $OD = h.$ По теореме Пифагора

( ) R2 = a 2 +h2 2

По теореме синусов

--a--- a- sin∠B = 2R ⇒ 12 =2R ⇒ R = a

Тогда

2 a2 2 a2 4 a- 2-- a = 4 + h ⇒ h2 = 3 ⇒ h = ± √3

Так как a> 0, » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-229-12.svg» width=»auto»> <img alt= 0, » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-229-13.svg» width=»auto»> то

√- a- -2- a-3- h = √3 ⇒ h = 2

Теорема синусов и теорема косинусов