Задача к ЕГЭ на тему «Теорема синусов и теорема косинусов» №16

Просмотров 5 Комментарии 0

$ABCD$ — вписанный четырёхугольник, причём $AB- AD- CD = k = BC ,$ $AC = 5,$ $BD =3.$ Найдите $k,$ если AB >CD. » class=»math» src=»/images/math/quest/quest-1428-6.svg» width=»auto»> </p></div>
<p><button class= Показать ответ

Обозначим $BC = x,$ $CD =y,$ $∠ABC = α,$ $∠BAD =β.$

$PIC$

Выразим $2 AC$ при помощи теоремы косинусов в треугольниках $ABC$ и $ACD :$

AC2 = x2+ k2y2− 2xkycosα

Так как $cos(π − ϕ)= − cosϕ,$ то

AC2 = k2x2+ y2+ 2kxycosα

Складывая два последних равенства с учётом того, что $AC = 5,$ получим:

50 = (k2+ 1)(x2 +y2) ⇒ x2+ y2 =--50- k2+ 1

Выразим $BD2$ при помощи теоремы косинусов в треугольниках $ABD$ и $BCD :$

2 2 2 22 BD = k x + ky − 2kxkycosβ BD2 = x2+ y2 +2xycosβ

Тогда

2 2 2 2 2 2 k(x + y )− 2k xycosβ =x +y +2xycosβ

Так как $x2+ y2 =--50-, k2+ 1$ то

2 2 (k-−2-1)⋅50-= 2(k2 +1)xycosβ ⇒ xycosβ = 25(k2-−-12) k + 1 (k + 1)

В итоге

50 50(k2 − 1) 50(k2+ 1)+ 50(k2− 1) BD2 = 9= k2-+1-+ (k2+-1)2 = -----(k2+-1)2------= = -100k2- ⇒ 9(k2+ 1)2 = 100k2 (k2+1)2

Обозначим $2 t =k :$

2 9(t+ 1) = 100t 9t2− 82t+9 = 0 D = 6724− 324= 6400= 802 82 ±80 t1,2 =--18-- t1 = 9 1 t2 = 9

Так как AB > CD, » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1428-24.svg» width=»auto»> то <img alt= 1, » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1428-25.svg» width=»auto»> тогда $2 t= k > 1, » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1428-26.svg» width=»auto»> откуда <img decoding=$ следовательно, $k =3$ ( k > 1 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1428-29.svg» width=»auto»>). </p></div>
</div>

</article>

<div class= Теорема синусов и теорема косинусов