Задача к ЕГЭ на тему «Теорема синусов и теорема косинусов» №15

Просмотров 6 Комментарии 0

$ABCD$ — вписанный четырёхугольник, причём $AB- AD- CD = 2 = BC ,$ $AC = 1.$ Найдите $BD.$

Обозначим $BC = x,$ $CD =y,$ $∠ABC = α,$ $∠BAD =β.$

$PIC$

Выразим $2 AC$ при помощи теоремы косинусов в треугольниках $ABC$ и $ACD :$

AC2 = x2+ 4y2− 4xycosα

Так как $cos(π − ϕ)= − cosϕ,$ то

AC2 = 4x2+ y2+ 4xycosα

Складывая два последних равенства с учётом того, что $AC = 1,$ получим:

2= 5(x2+ y2) ⇒ x2+ y2 = 0,4

Выразим $BD2$ при помощи теоремы косинусов в треугольниках $ABD$ и $BCD :$

BD2 = 4x2+ 4y2 − 8xycosβ 2 2 2 BD = x + y +2xycosβ

Тогда

2 2 2 2 4x + 4y − 8xycosβ = x + y + 2xycosβ

Так как $x2+ y2 = 0,4,$ то $xycosβ = 0,12.$

В итоге

BD2 = x2 +y2+ 2xycosβ = 0,4+ 2⋅0,12= 0,64 ⇒ BD = 0,8

Теорема синусов и теорема косинусов