Задача к ЕГЭ на тему «Теорема синусов и теорема косинусов» №14

Просмотров 8 Комментарии 0

$AB$ — диаметр окружности с центром $O,$ который пересекает хорду $CD$ в точке $E,$ лежащей на $BO.$ Градусная мера дуги $AC$ равна $60∘,$ $OE = 0,6⋅OA.$ Найдите $7⋅cos∠CEA.$

$PIC$

Построим радиус $CO$ и отрезок $CA,$ тогда $∠COA = 60∘$ и, следовательно, треугольник $COA$ — равносторонний, $∠CAE = 60∘,$ $AC = AO.$

$PIC$

$AE = 1,6⋅AO.$

Запишем теорему косинусов для треугольника $ACE :$

CE2 = AE2 + AC2 − 2 ⋅AE ⋅AC ⋅cos∠CAE

Тогда

CE2 = 2,56⋅AO2 + AO2 − 2 ⋅1,6⋅AO ⋅AO ⋅0,5= 1,96⋅AO2

Значит, $CE = 1,4 ⋅AO.$

По теореме синусов

--AC----= ---CE--- sin∠AEC sin ∠CAE

Тогда

√ - --AO----= 1,4⋅A√O- ⇒ sin∠AEC = --3 sin∠AEC 0,5 3 2,8

Из основного тригонометрического тождества находим: $cos∠AEC =± 1114.$ Так как точка $E$ лежит на $BO,$ то $∠AEC$ — острый, значит

cos∠AEC = 11 ⇒ 7⋅cos∠AEC = 5,5 14

Теорема синусов и теорема косинусов