Задача к ЕГЭ на тему «Теорема о трех перпендикулярах» №4

Просмотров 6 Комментарии 0

Прямая $a$ лежит в плоскости $π$ , $AO ⊥ a$ , $AK ⊥ π$ . Точка $K$ лежит в плоскости $π$ , точка $L$ принадлежит прямой $a$ . Найдите $AO$ , если $OK = OL$ , $√ -- KL = 2 2$ , $∠AOK = 60∘$ .

$PIC$

Т.к. $AK$ – перпендикуляр к плоскости $π$ , $a$ – прямая в плоскости $π$ , а $AO$ – наклонная, перпендикулярная к прямой $a$ , то согласно теореме о трех перпендикулярах $KO ⊥ a$ $⇒$ $△OKL$ – равнобедренный прямоугольный треугольник с прямым углом $∠KOL$ $⇒$ по теореме Пифагора $2 2 2 2 KL = OK + OL = 2 ⋅ OK$ $⇒$ $OK = 2$ . В прямоугольном треугольнике $△AKO$ : $∘ 1 AO = OK : cos 60 = 2 :2 = 4$ .

Теорема о трех перпендикулярах