Задача к ЕГЭ на тему «Теорема о трех перпендикулярах» №2

Просмотров 8 Комментарии 0

Дана пирамида $SABC$ с высотой $SA$ . $H$ – такая точка на $AB$ , что $CH ⊥ AB$ . $K$ – такая точка на $SB$ , что $HK ⊥ SB$ , причем $SC = 13$ , $SK = 12$ , $KB = 2$ . Найдите площадь треугольника $SBC$ .

$PIC$

Так как $SA$ – высота пирамиды, то $SA ⊥ (ABC )$ . Следовательно, $SA$ перпендикулярно любой прямой из $(ABC )$ , значит, $SA ⊥ CH$ . Тогда $CH$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $SA$ и $AB$ из плоскости $SAB$ , значит, $CH ⊥ (SAB )$ .
Заметим, что тогда $HK$ – проекция наклонной $CK$ на эту плоскость. Значит, по теореме о трех перпендикулярах $CK ⊥ SB$ .
По теореме Пифагора из $△SCK$ :

√ ----2------2 CK = SC − SK = 5.

Следовательно,

S △SBC = 1-CK ⋅ SB = 1-⋅ 5 ⋅ 14 = 35. 2 2