Задача к ЕГЭ на тему «Теорема о трех перпендикулярах» №1

Просмотров 9 Комментарии 0

Дана пирамида $SABC$ с высотой $SA = 8.$ Известно, что $SK$ равно 10 и перпендикулярно $BC = 5,$ причем $K$ лежит на $BC.$ Найдите площадь треугольника $ABC.$

Так как $SA$ — высота пирамиды, то $SA ⊥ (ABC ).$ Заметим, что $AK$ — проекция наклонной $SK$ на плоскость $(ABC ).$ Так как $SK ⊥BC,$ то по теореме о трех перпендикулярах $AK ⊥ BC,$ следовательно,

1 S△ABC = 2AK ⋅BC

$PIC$

Треугольник $SAK$ прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора

∘---------- AK = SK2 − SA2 = 6

Тогда искомая площадь треугольника $ABC$ равна

S△ABC = 1 ⋅6⋅5= 15 2

Теорема о трех перпендикулярах