Задача к ЕГЭ на тему «Теорема Безу» №6

Просмотров 6 Комментарии 0

Виталий утверждает, что какими бы ни были три различных числа $x1,$ $x2,$ $x3,$ достаточно знать остатки от деления многочлена второй степени $P2(x)$ на многочлены $x− x1,$ $x− x2,$ $x− x3,$ чтобы этим условием $P2(x)$ определялся однозначно. Прав ли он?

По теореме Безу остаток от деления многочлена $P (x)$ на $x− x0$ равен $P(x0),$ следовательно, если мы знаем остатки от деления $P2(x)$ на $x − x1,$ $x− x2,$ $x− x3,$ то мы знаем $P2(x1),$ $P2(x2),$ $P2(x3).$

Допустим, что Виталий не прав, тогда существует по меньшей мере два многочлена второй степени $P(x)$ и $Q (x),$ такие, что $P(x1) = Q (x1),$ $P(x2) = Q (x2),$ $P (x3) = Q(x3),$ но $P(x)$ и $Q (x)$ – многочлены второй степени, причём для $i = 1,2,3$ должно быть выполнено

P(xi) = Q(xi) ⇔ P (xi)− Q (xi) = 0 ,

но $R(x) = P (x)− Q(x)$ – многочлен, степень которого не выше 2, следовательно, он может иметь три корня только в случае $R(x) = 0,$ то есть при $P (x) = Q (x),$ следовательно, наше предположение неверно и Виталий прав.