Задача к ЕГЭ на тему «Теорема Безу» №4

Просмотров 6 Комментарии 0

Все коэффициенты многочлена $P(x)$ – целые числа. Известно, что $P(− 1) = − 1$ и $P(n) = 0$ при некотором $n ∈ ℤ.$

а) Приведите пример многочлена $P (x),$ подходящего по условию, чтобы его степень была равна 2016.

б) Найдите $P (0)⋅P(− 2)$ для каждого подходящего по условию $P (x).$

а) Подходит, например, $2016 P(x) = x + 2x :$

P (− 1) = − 1 P (0) = 0

б) Зафиксируем произвольный подходящий по условию $P(x).$ По теореме Безу остаток от деления многочлена $P (x )$ на $x− x0$ равен $P(x0),$ следовательно, существует многочлен $Q(x),$ такой что

P(x) = (x + 1)Q (x)− 1

Покажем, что у $Q(x)$ все коэффициенты также целые числа. Пусть

Q (x) = anxn +an− 1xn− 1 + ...+ a1x + a0

Тогда

n n−1 P(x) = (x + 1)(anx + an− 1x + ...+a1x + a0)− 1 = = anxn+1 + (an + an−1)xn + (an−1 + an−2)xn−1 + ...+ (a1 + a0)x + a0 − 1

Так как $(a0 − 1) ∈ ℤ,$ то $a0 ∈ ℤ.$ Так как $(a1 +a0) ∈ ℤ$ и $a0 ∈ ℤ,$ то $a1 ∈ ℤ$ и т.д. Таким образом, у $Q (x)$ все коэффициенты – целые числа.

P (n) = (n + 1)Q(n)− 1 = 0 ⇔ Q (n ) =--1-- n + 1

Так как у $Q (x)$ все коэффициенты – целые числа, то и число $--1-- Q(n) = n+ 1$ – целое, тогда либо $n = 0,$ либо $n = − 2.$

Так как $P(n) = 0,$ а мы показали, что это возможно только при $n = 0$ либо при $n = − 2,$ то в произведении $P (0) ⋅P(− 2)$ хотя бы один из множителей равен нулю (а второй не теряет смысла, так как $P(x)$ определён при любых $x$ ), тогда

P(0)⋅P (− 2) = 0