Задача к ЕГЭ на тему «Среднее арифметическое и минимальная сумма» №3

Просмотров 5 Комментарии 0

Дано n различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое пяти наибольших из них равно 20. Найдите максимальное возможное значение n.

Обозначим числа через

a1 > a2 >…> an » class=»math-display» src=»/images/math/answer/answer-5215-1.svg» width=»auto»></div> <p class= Запишем условие на среднее арифметическое:

a1+-a2+-a3+a4-+a5-= 20 5 a1 +a2+ a3+ a4+ a5 = 100

Все числа различны, значит, верны следующие оценки:

pict

Подставив их в условие на то, что сумма равна 100, получим:

(a5+ 4)+ (a5+3)+ (a5+ 2)+(a5+ 1)+ a5 ≤ 100 5a5+ 10 ≤ 100 ⇔ a5 ≤ 18

Все n − 5 чисел a6,...,an по условию различны, и все они меньше чем a5. Очевидно, что количество различных натуральных чисел, меньших a5, равно a5− 1. Тогда имеем неравенство

n − 5 ≤ a5− 1 ≤ 17 ⇔ n≤ 22

Пример: все натуральные числа от 1 до 22.

Среднее арифметическое и минимальная сумма
Оцените статью
Я решу все!
© 2025 Я решу все!