Задача к ЕГЭ на тему «Среднее арифметическое и минимальная сумма» №1

Просмотров 5 Комментарии 0

Даны две группы натуральных чисел: в первой группе шесть чисел, во второй — четыре числа. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно 7, а во второй — 9. Пусть $M1$ — наибольшее число из первой группы, $M2$ — наибольшее число из второй группы. Какое наибольшее значение может принимать сумма $M1 + M2?$

Обозначим числа в первой группе через

a1 ≥a2 ≥ ...≥ a6

Обозначим числа во второй группе через

b1 ≥ b2 ≥...≥ b4

Нам нужно максимизировать выражение

M1 + M2 = a1 +b1

Запишем условие на числа первой группы и выразим $a1 :$

a1+-...+-a6= 7 ⇔ a1 +...+ a6 = 42 6 a1 = 42− (a2+...+ a6)

Запишем условие на числа второй группы и выразим $b1 :$

b1+ ...+ b4 -----4----= 9 ⇔ b1+ ...+b4 = 36 b = 36− (b + b +b ) 1 2 3 4

Тогда сумма равна

a1 +b1 = 78− a2− a3− a4− a5− a6− b2 − b3− b4

Каждое из восьми чисел, которые мы вычитаем из 78, не меньше 1, так как все числа натуральные, следовательно,

a1+ b1 ≤ 78− 8⋅1= 70

Сумма, равная 70, очевидно достигается:

$pict$

Среднее арифметическое и минимальная сумма