Задача к ЕГЭ на тему «Смешанные неравенства» №6

Просмотров 5 Комментарии 0

Решите неравенство

−|x− 2| 2 2 ⋅log2(4x− x − 2)≥ 1

Рассмотрим первый множитель левой части $2−|x−2|.$ Так как модуль при всех значениях $x$ неотрицателен, то

|x − 2|≥ 0 ⇒ − |x − 2|≤ 0

Следовательно,

2−|x−2| ≤20 =1

Рассмотрим второй множитель $log(4x− x2− 2). 2$ Выделим полный квадрат:

4x − x2− 2 = −(x2− 4x+ 4)+2 = −(x− 2)2 +2

Так как квадрат любого выражения — число неотрицательное, то

(x − 2)2 ≥ 0 ⇒ − (x − 2)2 ≤ 0 ⇒ − (x − 2)2+ 2≤ 2

Следовательно,

log2(4x− x2− 2)≤ log22 = 1

Получили, что оба множителя в левой части $≤ 1,$ а значит и их произведение $≤ 1.$

Значит, неравенство будет иметь решения тогда и только тогда, когда оба они равны по 1.

Таким образом, получаем, что $x = 2$ — единственное решение неравенства.