Задача к ЕГЭ на тему «Смешанные неравенства» №5

Просмотров 23 Комментарии 0

Решите неравенство

logx(x + 1) ⋅ log(x+2)(x + 3 ) ⋅ ...⋅ log (x+2n)(x + 2n + 1) ---------ln(x-+-1)-⋅ ln-(x-+-2-) ⋅ ...⋅-ln(x-+-n-)-------≤ 0

при каждом n ∈ ℕ .

ОДЗ:

( | x > 0 |||| ||| x ⁄= 1 ||| x + 1 > 0 |||| ||| x + 2 > 0 { { x + 2 ⁄= 1 x > 0 | ⇔ ||| x + 3 > 0 x ⁄= 1 ||| … |||| x + 2n > 0 ||| ||| x + 2n ⁄= 1 |( x + 2n + 1 > 0 » class=»math-display» width=»auto»></center> </p> <p class= По методу рационализации: на ОДЗ

logx(x-+-1) ⋅-log(x+2)(x +-3) ⋅ ...⋅ log-(x+2n)(x-+-2n-+-1)-≤ 0 ⇔ ln(x + 1) ⋅ ln(x + 2) ⋅ ...⋅ ln (x + n) (x − 1)(x + 1 − 1)(x + 2 − 1 )(x + 3 − 1) ⋅ ...⋅ (x + 2n − 1)(x + 2n + 1 − 1) ⇔ -------------------------------------------------------------------------≤ 0 ⇔ (x + 1 − 1) ⋅ ... ⋅ (x + n − 1) (x − 1)x(x + 1)(x + 2) ⋅ ...⋅ (x + 2n − 1)(x + 2n ) ⇔ ------------------------------------------------≤ 0. x ⋅ ...⋅ (x + n − 1 )

С учётом ОДЗ последнее неравенство равносильно

(x − 1) ≤ 0.

Таким образом, с учётом ОДЗ:

x ∈ (0;1).

Смешанные неравенства
Оцените статью
Я решу все!
© 2025 Я решу все!