Задача к ЕГЭ на тему «Смешанные неравенства» №14

Просмотров 6 Комментарии 0

Найдите все такие x ∈ ℝ , которые являются решениями неравенства

N ⋅ log 3 ⋅ log (1 + x) ≥ 1 (1+Nx) 3

при любых N ∈ ℕ.

ОДЗ:

( |{ 1 + N x > 0 |( 1 + N x ⁄= 1 — при лю бы х N ∈ ℕ 1 + x > 0 » class=»math-display» width=»auto»></center> </p> <p class= Покажем, что x < 0 не подходят по ОДЗ:
зафиксируем произвольное x < 0 , тогда − x > 0 » class=»math» width=»auto»>. Существует <img decoding=, такое что

1 n > —-. − x » class=»math-display» width=»auto»></center> Положим <img decoding=, тогда
N > -1— ⇒ − xN > 1 ⇒ 1 + N x < 0, − x
что не подходит по ОДЗ. Таким образом, x ≥ 0 .
 
Также по ОДЗ не подходит x = 0 , а x > 0 » class=»math» width=»auto»> подходят по ОДЗ, следовательно,<br class=ОДЗ:
x > 0. » class=»math-display» width=»auto»></center> На ОДЗ:<br class=исходное неравенство равносильно неравенству

-----1-------⋅ log (1 + x)N ≥ 1 log3(1 + N x ) 3

Так как на ОДЗ

1 + N x > 1, » class=»math-display» width=»auto»></center> то <img decoding=

------1------ N N log (1 + N x) ⋅ log3(1 + x) ≥ 1 ⇔ log3(1 + x) ≥ log3(1 + N x) ⇔ 3 N ⇔ (1 + x ) ≥ (1 + N x).

Зафиксируем произвольный x > 0 » class=»math» width=»auto»>.<br class=Докажем по индукции, что данное неравенство выполнено для всех N ∈ ℕ :
 
1) N = 1 :

1 + x ≥ 1 + x
– верно.
 
2) Рассмотрим произвольное m ∈ ℕ , такое что (1 + x)m ≥ 1 + mx , тогда
m+1 m 2 (1 + x) = (1 + x) ⋅ (1 + x) ≥ (1 + x) ⋅ (1 + mx ) = 1 + mx + x + mx ≥ 1 + x(m + 1),
таким образом, мы доказали, что рассматриваемый x подходит. Так как мы фиксировали произвольный x > 0 » class=»math» width=»auto»>, то все <img decoding=Смешанные неравенства
Оцените статью
Я решу все!
© 2025 Я решу все!