Задача к ЕГЭ на тему «Смешанные неравенства» №12

Просмотров 5 Комментарии 0

Решите неравенство

2x+log2(1+x1ln2) ≥ 1

ОДЗ:

----1---- > 0 ⇔ 1 + x ln 2 > 0 ⇔ x > − -1-. 1 + x ln 2 ln 2 » class=»math-display» width=»auto»></center> </p> <p class= На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

x log (--1- ) x 1 x 2 ⋅ 2 21+xln2 ≥ 1 ⇔ 2 ⋅--------- ≥ 1 ⇔ 2 ≥ 1 + xln 2 ⇔ x 1 + x ln 2 ⇔ 2 − 1 − xln 2 ≥ 0.

Рассмотрим функцию

f(x ) = 2x − 1 − x ln2.
Найдём её промежутки возрастания/убывания:
f′(x) = 2x ln 2 − ln 2 = ln2 ⋅ (2x − 1)
Легко проверить, что x = 0 – единственная точка локального минимума функции f , тогда она является точкой минимума f и наименьшее значение f равно
0 f(0) = 2 − 1 − 0 ⋅ ln 2 = 0.

Таким образом, x 2 − 1 − xln2 ≥ 0 – верно при всех x ∈ ℝ , тогда ответ совпадает с ОДЗ:

x > − -1—. ln2 » class=»math-display» width=»auto»></center> </div> </p> </div><!-- .entry-content --> </article> <div class=Смешанные неравенства
Оцените статью
Я решу все!
© 2025 Я решу все!